Tema

Lek fram matematikens skönhet

Pi-dagen i mars ger tillfälle att uppmärksamma både matematikens skönhet och dess mest berömda konstant. Faktum är att vi borde tänka på matematik som ett estetiskt ämne i skolan, med mer lek och utforskande, enligt Umeåforskare.

Den 14 mars (3.14 med engelskt skrivsätt), firas Pi-dagen runtom i världen. En dag för att uppmärksamma matematikens betydelse – men också nöjet med den. För matematiken är inte bara en vetenskap som ligger till grund för det högteknologiska samhället, den är också en källa till glädje och skönhetsupplevelser.

Men vad är det egentligen som gör matematik vacker? Det är något som Umeåforskarna Manya Sundström och Lars-Daniel Öhman undersöker.

– Vi har undersökt vad som gör att matematiker upplever att ett bevis ”passar”, säger Manya Sundström. Den frågan är så konkret att den går att angripa. Skönhet är mycket svårare att karaktärisera.

Matten i skolan kan vara mer lekfull

Forskning om matematikens skönhet är filosofiskt intressant men kan också ha betydelse för matematikundervisning, och därmed för allmänhetens relation till matematik, menar Manya Sundström.

– Om vi betraktar matematik som ett estetiskt ämne så påverkar det hur vi undervisar, säger hon. Jag tror att matematik i skolan kan involvera mycket mer lek och utforskande. Som vi undervisar matte idag får du normalt inte lära känna den sidan av matematiken förrän du börjar på universitetet, vilket är olyckligt. Barns relation till matematisk estetik och hur den kan användas pedagogiskt är något som jag skulle vilja forska mer om i framtiden.

Att både barn och vuxna lekmän kan ha en lite annan ingång till matematisk skönhet än skolade matematiker är hon och Lars-Daniel Öhman öppna för.

Estetik i matematikens inre strukturer

– I den mån allmänheten har en uppfattning om skönhet i matematik så är den nog nära knuten till det visuella, säger Öhman. Det är inte riktigt den matematiska skönhet som vi syftar på i vår forskning. Vi undersöker snarare estetiken i matematikens interna strukturer, hur saker hänger ihop.

Hur är det då med festföremålet pi? Har denna konstant, som representerar förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter, någon matematisk skönhet? Och är det en bra idé att centrera en dag tillägnad matematiken runt pi?

Pi ger omkrets, area och volym på en fotboll

Talet π (pi) är en matematisk konstant som representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter. 3,14 är en approximation av talet, som är irrationellt och har ett oändligt antal decimaler. En ännu bättre approximation är 22/7.

Konstanten pi används i många geometriska formler för cirklar, sfärer och andra runda objekt.

Omkretsen (O) av en cirkel beräknas med: O = πd (där d står för diameter)
Arean (A) av en cirkel beräknas med: A = πr2 (där r står för radien)
Volymen (V) av en sfär beräknas med: V = 4/3 πr3

De tidigaste kända uppskattningarna av π:s värde härstammar från cirka två årtusenden f.Kr. då babylonierna använde värdet 25/8 = 3,125, och egyptierna 256/81 ≈ 3,16. Cirka 250 f.Kr. överträffade Arkimedes dessa resultat när han med en geometrisk konstruktion visade att π måste ligga mellan 223/71 och 22/7, motsvarande en noggrannhet på en enhet i tredje decimalen.

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944… osv.
Sångerskan Kate Bush sjunger på sitt album Aerial en låt med titeln ”π”, vars text består av mer än 100 decimaler av π. Hennes fans har dock noterat att flera av decimalerna är felaktiga.

Källa: Wikipedia

– Pi har fördelen att väldigt breda folklager associerar det till matematik, säger Lars-Daniel Öhman. Det fungerar onekligen som symbol att samlas runt. Om pi är vackert? Nej, det skulle jag inte säga. Pi i sig är en konstant, ett visst värde, inte mer än så. Däremot kan man se något vackert och fascinerande i att pi återkommer i så många olika sammanhang – även där man tycker att det inte alls hör hemma. Det är till exempel inte helt lätt att förklara varför pi, som kommer från geometrin, ska dyka upp i sannolikhetslära och kombinatorik. Men det gör det.

Pi ingår i det vackraste teoremet

– Pi finns också med i satsen eπi=–1, Eulers identitet, som röstats fram som matematikens vackraste teorem, säger Manya Sundström. Även om jag nog tycker att det finns ännu vackrare ekvationer så måste jag hålla med om att eπi=–1 har något visst. Jag tänker att det är lite som en Oscarfilm – den behöver inte vara allra bäst, men den ska ha något som går hem hos många.

Den matematiska formeln för Euler's identitet. Bild: Quinn Dombrowski, Wikimedia Commons

Fascinerande teorem

Ordet teorem kommer från grekiskans theor’eo, som betyder betrakta, skåda. Det är ett vetenskapligt påstående som kan bevisas, inom matematik, logik eller liknande system.

Eulers identitet, eller ekvation, är ett teorem uppkallat efter den schweiziske matematikern Leonhard Euler. Skönheten, som fascinerat många matematiker genom tiderna är att ekvationen kopplar ihop några av de viktigaste talen inom matematiken – talet e från analysen, talet pi från geometrin, den imaginära enheten, i, från de komplexa talen och talet 1 från aritmetiken.

Källa: Wikipedia

Själv har Manya Sundström ett ambivalent förhållande till Pi-dagen: gärna mer uppmärksamhet kring matematik, men varför blir det ofta så tramsigt?

– Det är väl inget fel att baka ”apple-pie” för att fira, men när jag bara ser den sortens aktivitet runt Pi-dagen blir jag lite grinig. Det blir så tomt fastän det finns så mycket spännande man skulle kunna prata om!

Att det är en bra idé att främja intresset för matematik är hon och Lars-Daniel Öhman överens om – både för att de unnar fler att ha ett lustfyllt förhållande till ämnet, och för att behovet av matematikkunskaper i samhället är stort.

Mycket teknik bygger på avancerad matematik

– Väldigt mycket teknologisk utveckling bygger på avancerad matematik, även om de som arbetar med det kanske inte kallar sig matematiker utan programmerare eller ingenjörer, säger Lars-Daniel Öhman.

– Jag tror att det är bra med utbredda mattekunskaper i samhället, säger Manya Sundström. Makthavare som inte verkar förstå matematik gör mig ärligt talad lite rädd.

Hur ska då nästa generation matematiker lockas till ämnet? Vilka är de stora frågorna idag? Finns det en forskningsfront?

Sex matematiska problem återstår

– Matematiken idag består av många delar och är svår att överblicka. De sista som behärskade sin tids samlade matematiska kunskap levde för ett sekel sedan, säger Lars-Daniel Öhman. Men det har i alla fall gjorts något slags gemensam prioritering i och med Millennieproblemen – en lista med sju särskilt angelägna matematiska problem som presenterades år 2000. Sex av dem återstår fortfarande att lösa.

– Vår forskning om matematikens estetik hör till filosofin: matematisk filosofi, säger Manya Sundström. Inom det området kan man se ett växande intresse för frågor om relationen mellan matematik och våra hjärnor. Hade vi kunnat upptäcka matematiken på ett annat sätt, eller speglar vårt sätt att beskriva matematiken hur våra hjärnor fungerar? Matematikens neurovetenskap, kan man säga. Det här är oerhört intressanta frågor som jag tror kommer att driva fram en massa spännande forskning!

Fotnot:
Manya Sundströms och Lars-Daniel Öhmans artikel ”Mathematical Fit: A Case Study” i  blev nyligen utsedd till en av 2018:s bästa filosofiartiklar av förlaget Oxford University Press. Artiklen i Philosophia Mathematica går att läsa gratis online till 31 mars 2019.

Text: Anders Nilsson, på uppdrag av forskning.se

Vi finns där du är @forskningsnyhet

Lek fram matematikens skönhet

 lästid ~ 6 min