Bättre matematisk förståelse av p-Laplaces ekvation

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. En funktion som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmonisk. p-Laplaces ekvation är en icke-linjär generalisering av den kända Laplaces ekvation och kan användas för att beskriva till exempel flöden av smält plast vid plastgjutning. Ekvationen är också förekommande inom bildanalys och i olika typer av minimeringsproblem.

Niklas Lundströms avhandling är av grundforskningskaraktär inom ämnet matematisk analys och huvudfokus är att bevisa den så kallade Boundary Harnack’s olikhet. Den säger följande: givet två positiva lösningar till p-Laplaces ekvation som försvinner på en del av randen, det vill säga begränsningen på området i vilket ekvationen gäller, så kommer lösningarna att försvinna lika snabbt nära randen. Niklas Lundström visar detta resultat i sin avhandling i flera olika situationer och presenterar följdsatser. Till exempel visar han olikheten i områden vars ränder är ganska platta.

– Konstruktionen av bevisen kräver ett djupt analytiskt och geometriskt tänkande. Det gäller att ha tålamod och många idéer. Vi har försökt på ett tiotal problem och lyckats lösa cirka en tredjedel av dessa, säger Niklas Lundström.

Grundläggande kunskap om Boundary Harnack’s olikhet är viktigt för att vidare förstå lösningar till p-Laplaces ekvation. Till exempel vid frirandsproblem, där man har information om lösningen och vill säga något om randen, är Boundary Harnack’s olikhet ett användbart verktyg.

Man talar ofta om lokala och globala resultat och Boundary Harnack’s olikhet är ett lokalt resultat. I avhandlingen visar Niklas Lundström även en grundläggande global egenskap hos det så kallade p-harmoniska måttet som kan användas för att öka förståelsen av vissa lösningar till p-Laplaces ekvation globalt. Det betyder att man får information om lösningen på hela området där lösningen existerar.

Niklas Lundström är uppvuxen i Bodan Lövånger i Skellefteå kommun. Han har studerat vid Luleå tekniska universitet där han tog civilingenjörsexamen i teknisk fysik 2004 och licentiatexamen i maskinteknik 2006. Därefter började han doktorera i matematik vid Umeå universitet.
 
Om disputationen
Fredagen den 28 oktober försvarar Niklas Lundström, institutionen för matematik och matematisk statistik, Umeå universitet sin avhandling med titeln: P-harmonic functions near the boundary. Svensk titel: Randuppträdanden hos p-harmoniska funktioner.
Disputationen äger rum kl. 10.00 i sal MA 121 MIT-huset.

Fakultetsopponent är Professor Tero Kilpeläinen, Department of Mathematics and Statitistics, Jyväskylä University
 
Läs hela eller delar av avhandlingen på:
http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:umu:diva-47942 [Ref 1]
 
För ytterligare information, kontakta gärna:
Niklas Lundström
Tel: 090-786 5378
E-post: niklas.lundstrom@math.umu.se